Programme 2014-2015

On étudie le problème de couverture approximative avec des coûts de transaction proportionnels dans des marchés à volatilité stochastique. En utilisant une forme simple pour la volatilité ajustée dans la méthode de Leland, nous montrons que les propriétés asymptotiques de l'erreur de couverture sont les mêmes que celles dans le cas de volatilité déterministe et la vitesse de convergence peut être améliorée en contrôlant un paramètre du modèle. Nous montrons également que des sauts dans les prix de l'actif et/ou dans la volatilité du modèle ont aucun impact à la propriété asymptotique de l'erreur de couverture. Dans la deuxième partie, nous abordons le problème de couverture approximative en présence des risques de liquidité dans le sens de Cetin-Jarrow-Protter (des coûts de transaction proportionnelle modèles sont un cas particulier). Dans la troisième partie, nous étudions le cas où l'option est basée sur plusieurs actifs risqués et démontrons que la réplication complète peut être atteinte pour des options d'échange. Nous proposons une méthode simple pour réduire le prix de l'option qui est proche au prix de super-couverture.

Dans notre travail, nous donnons les concepts de base concernant la probabilité de ruine dans le cas univarié, en généralisant au cas multivarié et en présantant les outils de base liés à la théorie des copules les définitions et les propriétés fondamentales.

Dans cet exposé,en premier lieu, je vous parlerai de quelque notions de base et définitions conçernant les processus autorégressifs périodiques. En second lieu, je vous donne l'algorithme récursif on line des moindres carrés pour estimer les paramètres de ces modèles et les propriétés aymptotiques de ces estimateurs et je termine par un exemple.

Les problèmes du transport neutronique sont liés aux équations des transports $\dfrac{\partial f}{\partial t}=Lf$, dans ce travail on considère l'opérateur de transport $$Lf=-i\mu\dfrac{\partial f}{\partial x}+c_{0}(x) \int_{-1}^1f(x,\mu')\,d\mu'$$ dans l'espace de Hilbert des fonctions $f(x,\mu),x\in\mathbb{R}, \mu\in[-1,1]$ tel que l'intégral $\int\limits_{\mathbb{R}}\int_{-1}^1\lvert f(x,\mu)\rvert^2\,dx\,d\mu$ est fini. On démontre que sous la condition $C>0$ et $$ \left(\int\limits_{\mathbb{R}}\lvert c_{0}(x)\rvert^2e^{2\varepsilon\lvert x\rvert}\,dx\right)^{1/2}\leqslant C\left\lvert\int\limits_{\mathbb{R}}c_{0}(x)\,dx\right\rvert / \int\limits_{\mathbb{R}}\lvert c_{0}(x)\rvert\,dx$$ le spectre ponctuel de l'opérateur $L$ est fini. On utilisant le modèle de Friedrichs et le fait que le potentiel $c_{0}(x)$ décroit exponentiellement.

Les systèmes modernes d'information et de télécommunication sont caractérisés par la complexité des outils employés et par l'augmentation des exigences concernant la qualité de la transmission d'information. Afin d'assurer la fiabilité de ces systèmes il faut tenir compte des conditions de transmissions des messages , y compris de la présence du bruit généré par différentes causes physiques .

La métastabilité est un phénomène observé en thermodynamique. Différentes approches ont été développées pour décrire l'évolution d'un système au sein des différents états métastables, ou d'un état métastable à un état stable. On présente ici une approche développée par J. Beltrán et C. Landim (2011). Après avoir présenté les outils de base, on introduit le concept de vallée pour un processus de Markov. On énonce ensuite le théorème fondamental d'existence des états métastables et des échelles de temps associées, puis on construit les états métastables pour la première échelle de temps. On construit enfin les états métastables des échelles de temps supérieures de manière itérative. Si le temps le permet, on s'intéressera brièvement à titre d'exemple à la métastabilité du modèle d'Ising à basse température.

La statistique est la science et la pratique de la production d’informations à partir de données empiriques quantitatives, elle est basée sur la théorie statistique qui est une branche des mathématiques appliquées. On peut la lier à la théorie de la décision. La régression est un ensemble de méthodes statistiques très utilisées pour analyser la relation d'une variable quantitative (variable expliquée) par rapport à une ou plusieurs autres (variables explicatives). On s’intéresse à la régression linéaire simple qui permet de modéliser la relation entre une variable quantitative $Y$ et une variable quantitative $X$. Le modèle de régression linéaire est souvent estimé par la méthode des moindres carrés mais il existe aussi de nombreuses autres méthodes pour estimer ce modèle.

On introduira la notion de percolation discrète et continue. On s'intéressera ensuite aux composantes finies dans le cas d'un modèle continu à grande intensité où les points sont distribués suivant une processus de Poisson homogène dans R^d . On regardera plus particulièrement à la loi du cardinal de la composante de l'origine et la répartition de ses points. Sans donner de démonstration détaillée, on donnera les arguments géométriques principaux. Cet exposé repose principalement sur l'article de K.S.Alexander de 1993.

Dans le cas de problèmes paraboliques, les lemmes d'Aubin-Lions-Simon sont très souvent utilisés pour montrer la compacité de la suite de solutions . L'intérêt d'avoir des versions discrètes de ces lemmes est de pouvoir montrer la convergence de schémas numériques pour les problèmes d'évolution. On montre ici les versions discrètes des lemmes de Lions et d'Aubin-Simon. Celles-ci nous permettront de montrer la convergence d'un schéma numérique combinant éléments finis et volumes finis pour un modèle de turbulence réduit; ce dernier couplant l'équation de Stokes à l'équation de conservation de l'énergie.

Après avoir donné une démonstration du théorème de Baire à l'aide du jeu de Choquet, nous en présenterons des applications : une caracterisation des fonctions de classe $C^{\infty}$ telles qu'en chaque point, au moins une des dérivées s'y annule, ainsi qu'une démonstration du théorème de Vitali-Hahn-Saks pour des mesures boréliennes absolument continues par rapport à la mesure de Lebesgue.

13 et 20 mai 2015 Professeur Mahendra Nadkarni de l'Université de Mumbai et l'académie des Sciences de l'Inde

Basics of Shannon Entropy.

We will discuss the basics of Shannon entropy and its applications. The notion of entropy appears in many branches of science, both pure and applied. We will discuss the applicatioins of this notion within mathematics. Background needed will be under-graduate mathematics, mainly naive notions of sets and functions and the properties of the function log x.

Parmi les modèles de coques peu régulières récemment développés, on trouve le modèle $G_1$ de Naghdi [R1]. Il s'agit d'un modèle prenant en compte les déformations membranaires et celles en flexion aussi bien que les effets de cisaillement transverses. Les coques considérées sont homogènes et isotropes dont la surface moyenne est formée de facettes raccordées de façon $C^1$ ou plus généralement de façon $G_1$, donc autorisent des discontinuités de courbures. Les inconnues du modèle sont le déplacement et les composantes locales de la rotation de la normale à la surface moyenne. Cette formulation ne contenant pas d'inconnue duale permet de réduire le nombre de degré de liberté, comme pour le cas d'une coque $C^1$ du modèle introduit dans [R2].

pour une coque $G_1$. On considère le déplacement comme un champ de vecteurs. La rotation, quant à elle, est identifiée à ses composantes covariantes, comme il est d'usage en théorie des coques. Nous prouvons l'existence et l'unicité de la solution du modèle de Naghdi pour une coque $G_1$ dans un nouvel espace fonctionnel. La preuve utilise une nouvelle version du lemme du mouvement rigide sous des hypothèses de régularité $G_1$ de la surface moyenne. Ensuite, nous proposons une approximation par éléments finis conformes de ce modèle. Une simulation numérique avec FreeFem++ est aussi réalisée pour un réservoir cylindrique sous pression uniforme où le domaine de référence est composé en trois sous-domaines contigus.

[R1] : H. Le Dret, Well-posedness for Koiter and Naghdi shells with a $G_1$-midsurface, Université Pierre et Marie Curie.

[R2] : A. Blouza, Une formulation hybride du modèle de coque de Naghdi, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser, I,(2013).

This presentation will discuss about optimization of linear control systems over Lie group and related it to Almost Riemannian Structure.

3 juin 2015 Axel Albertini

A propos des rotations irrationnelles.

Nous commencerons par introduire la notion de décomposition en fraction continue afin de montrer que celle-ci nous donne la meilleure approximation d'un irrationnel par des rationnels. Cet outil nous permettra ensuite d'étudier la dynamique des rotations irrationnelles en partitionnant le cercle unité en deux tours de Rokhlin. Enfin nous verrons au travers de l'étude des suites sturmiennes, que les rotations irrationnelles interviennent aussi en dynamique symbolique.

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