Programme 2013-2014

La motivation principale de notre travail vient de certains auteurs qui ont étudié l’existence et la nature des solutions des équations différentielles ordinaires et stochastiques ayant des coefficients Stepanov presque périodiques. En particulier, P. H. Bizandry et T. Diagana qui ont affirmé dans leur papier que les solutions d’une équation d’évolution semi-linéaire stochastique ayant un générateur non-autonome et des coefficients Stepanov presque périodiques en moyenne quadratique sont Stepanov presque périodiques en moyenne quadratique. Ultérieurement, O. Mellah et P. R. De Fitte donnèrent des contres exemples sur l’existence de ces dernières solutions dans leur papier.

La deuxième motivation vient de l’article de J. Andres et D. Pennequin qui ont démontré que les solutions d’une EDO ayant des coefficients Stepanov presque périodiques sont Bohr presque périodiques.

Tenant compte de ces éléments, on s’est intéressé à l’existence et à la nature des solutions d’une équation d’évolution semi-linéaire stochastique ayant un générateur non-autonome et des coefficients Stepanov presque périodiques en moyenne quadratique.

Références bibliographiques :
- Existence of almost periodic solutions to a class of nonautonomous stocastic evolution equations, H. Bizandry and T. Diagana. Electronic Journal of Qualitative Differential Equations. 35:1--19, 2008.
- Counterexemples to mean square almost periodicity of the solutions of some SDEs with almost periodic coefficients, O. Mellah and P. R. De Fitte. Electron.J.Differential equations.2013, No 91, 7 pp (electronic),.
- On the non existence of purely Stepanov almost-periodic solutions of ordinary differential equations, J. Andres and D. Pennequin. American Mathematical Society. 140(08):2825--2834, 2012.

3 décembre 2013 Nicolas Chenavier

Etant donné un processus ponctuel de Poisson dans $\mathbf{R}^d$, on considère, pour chaque point du processus, le lieu de l'espace où l'on est plus proche de ce point que de tout autre point. Cela induit une partition de $\mathbf{R}^d$ en des polytopes, appelée mosaïque de Poisson-Voronoï. On observe ce type de modèle dans une fenêtre vouée à décrire l'espace et on s'intéresse au comportement maximal d'une caractéristique géométrique donnée (e.g. le volume, le nombre de sommets) pour tous les polytopes de la fenêtre. Dans cet exposé, on présentera trois résultats. Le premier réduit l'étude du maximum de ces polytopes à celle de la caractéristique géométrique de la cellule typique i.e. un polytope "choisi uniformément au hasard". Nous aurons besoin, pour cela, de supposer une condition locale sur la mosaïque. Sous la même condition, on présente un résultat sur la convergence du processus ponctuel des excédants afin de décrire les lois jointes des statistiques d'ordre. Enfin, lorsqu'on ne suppose plus la condition locale, on présente une version faible du premier résultat ainsi qu'une notion d'indice extrême.

17 décembre 2013 Zeyneb Bouderbala

Dans ce travail, on va étudier les cycles limites de deux classes de l'équation différentielle \begin{equation*} \overset{..}{x}+3x\overset{.}{x}+x^{3}+f(t)(\overset{.}{x}% +x^{2})+g(t)x+h(t)=0, \end{equation*} dans $\mathbb{R} ^2$, où $f$, $g$ et $h$ sont des fonctions périodiques par rapport à $t$. Ces résultats sont obtenus en utilisant la théorie de la moyennisation. En outre on va illustrer ces résultats par quelques applications.

19 décembre 2013 Hocine Kourat (LMPA, Tizi-Ouzou)

Cet exposé est essentiellement consacré à la géométrie de l'espace de Besicovtch-Musielak-Orlicz (${B}^{\varphi}$p.p) de fonctions presque périodiques relativement à la norme de Luxemberg, précisement les propriétés géométriques locales telles que la locale uniforme convexité (LUC), l'uniforme convexité dans toute direction (UCED), la mid-point locale uniforme convexité (MLUC) et la H-propriété.
On a montré que dans cet espace toutes ces propriétés sont identiques à la stricte convexité.

En 1992, motivé par l'étude de caractéristiques géométriques de la cellule typique de mosaïques de Poisson-Voronoi, S.A. Zuyev a démontré une formule de Russo pour les processus ponctuels de Poisson (PPP). Après avoir présenté la formule de Russo dans le cadre "historique" d'un schéma de percolation par liens sur $\mathbb{Z}^d$ et certaines de ses conséquences, on établira la formule de Russo pour les PPP. Finalement, des applications en géométrie stochastique seront évoquées. Cet exposé repose principalement sur: [Z] S.A. Zuyev, Estimates for Distributions of the Voronoi Polygon's Geometric Characteristics, Random Stuctures and Algorithms, Vol. 3, n°2 (1992).

28 janvier 2014 Djaber Benchettah

Dans ce travail, nous discrétisons l'inéquation variationnelle parabolique liée au problème d'option Américaine par un thêta schéma combiné avec la méthode des éléments fnis. L'inéquation variationnelle parabolique est transformée en une inéquation quasi-variationnelle elliptique. En- suite nous avons dééfini un algorithme de type Bensoussan-Lions pour l'existence et l'unicité. D'ailleurs sa convergence est établie. Enfin, nous établissons l'estimation du comportement asymptotique par la norme uni- forme pour le problème d'option Américaine Multidimensionnel. Travail en collaboration avec M. Haiour (Université Badji-Mokhtar Annaba, Algérie).

4 avril 2014 Saïd Naciri Stabilité des Systèmes Non Linéaires à Commutation.

Durant cet exposé, nous étudierons les propriétés de stabilité asymptotique des systèmes non linéaires à commutation sous l’hypothèses de l’existence d’une fonction de Lyapunov faible commune. Nous considérons la classe des entrées non chaotiques qui généralisent différentes notions d’entrées avec « dwell-time », ainsi que des entrées plus générales. Pour chacune d’entre elles, nous donnons des conditions suffisantes de stabilité asymptotique faisant intervenir la géométrie de certains ensembles.

15 avril 2014 Davide Giraudo

Les fonctions presque périodiques au sens de Bohr forment un espace vectoriel de fonctions contenant toutes les fonctions périodiques bornées. Après avoir présenté quelques propriétés de cette classe de fonctions, on verra les analogies avec les séries de Fourier classiques de fonctions périodiques : unicité du développement, identité de Parseval et traduction de la régularité en terme de coefficients de Fourier.

20 mai 2014 Hélène Quintard

Après avoir introduit la notion de constructibilité nous énoncerons le théorème de Wantzel. Cela nous servira à répondre à trois problèmes de géométrie très connus : la quadrature du cercle, la duplication du cube et la trisection de l'angle. Nous présenterons ensuite la correspondance de Galois et le théorème de Gauss.

27 mai 2014 Professeur Wilfrid Gangbo (Georgia Institute of Technology, USA, invité en qualité de directeur de CNRS par le LMRS)

Nous introduisons la distance de Wasserstein sur l’ensemble des mesures de probabilités dont les moments d’ordre 2 sont finis. Nous décrivons les géodésiques de cette métrique et donnons quelques exemples de fonctions convexes. Grâce à ces géodésiques nous établissons des inégalités géométriques.

Nous présenterons dans un premier temps la méthode développée par Sanjiva K. Lele pour obtenir des schémas aux différences finies d'ordre supérieur. Puis nous testerons numériquement cette méthode pour l'ordre 6 afin de résoudre l'équation de la chaleur 1D, et nous comparerons les résultats obtenus à des méthodes plus classiques telles que les éléments finis et la méthode spectrale.

Je vais commencer par définir les processus de poisson et avant de parler des tests d'hypothèses dans le cas de processus de poisson. Je vais parler des tests d'hypothèse dans le cas des variables aléatoires indépendants et identiquement distribuées , exemple: le test de Cramér Van-Mises..

17 juin 2014 Soumia Dani

Tout d'abord je vais faire une introduction sur les marchés financiers, ensuite je vais parler de l'hypothèse d'absence d'opportunité d'arbitrage. Finalement je définirai le support total conditionnel et je discuterai de la relation de cette condition avec l'intégrale stochastique.

17 juin 2014 Ahmed Hallouz

On présente d'abord les ordinaux et le principe de récurrence transfinie. Comme application on démontre le théorème du point fixe de Sadovskii pour les opérateurs condensants (une généralisation des opérateurs compacts) qui généralise le théorème du point fixe de Shauder.