L'atelier des doctorants a lieu le vendredi, de 15h00 à 16h00 dans la salle de séminaire M.0.1 (rez-de-chaussée).
Programme
26 Octobre 2012 Davide Giraudo (LMRS, Université de Rouen) Une démonstration du théorème de Bochner à l'aide des algèbres de Banach Une démonstration du théorème de Bochner (donnant une caractérisation des transformées de Fourier de mesures de Borel finies sur $\mathbb{R}^d$) sera donnée. II existe des démonstrations "à la main": le livre de Rudin, "Analyse fonctionnelle", en propose une en utilisant la théorie de Gelfand sur les algèbres de Banach et une caractérisation des homomorphismes sur $L^1(\mathbb{R}^d)$ muni de la convolution auquel on adjoindra un élément unité. C'est l'occasion de voir certaines propriétés des algèbres de Banach et leur utilité.
16 Novembre 2012 Hélène Quintard (LMRS, Université de Rouen) Le Jeu de Hex Après une présentation du jeu (Histoire de la création et règles) nous démontrerons le théorème de Hex puis son équivalence avec le théorème du point fixe de Brouwer en dimension 2. Nous parlerons brièvement de cette équivalence en dimension n.
23 Novembre 2011 Belkacem Berdjane (LMRS, Université de Rouen) Consommation et investissement optimaux dans des marchés financiers à coefficients aléatoires On considère le è de consommation et d'investissement optimaux dans les marchés de Black-Scholes à coefficients aléatoires. Les paramètres du marché dépendent d'un processus de diffusion. On suppose un agent prenant des décisions basées sur la maximisation d'utilité de sa consommation ainsi que l'utilité de sa richesse à l'échéance. La fonction d'utilité considérée est la fonction puissance $x^\gamma$, $0\leq\gamma\leq 1$. L'approche dynamique du problème mène à la résolution de l'équation d'Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB), qui s'avère dans notre cas une EDP fortement non linéaire du second ordre. A l'aide de la représentation probabiliste de Feynman-Kac on démontre l'unicité et la régularité de la solution de l'équation d'HJB, et on construit par l'algorithme du point fixe, une suite convergeant vers cette solution. On étudie la vitesse de convergence des suites approximantes à la fois de cette solution et du portefeuille de l'investisseur. On montre dans notre cas, que les suites convergent à vitesse plus rapide que n'importe quelle raison géométrique. La vitesse de convergence est sur- géométrique. En deuxième lieu, on considère le meme type de consommation et d'investissement optimaux et on considère le marché de Black-Scholes à volatilité stochastique. Le taux de dérive de l'actif risqué est considéré inconnu. De plus, la volatilité est une fonction aléatoire d'un processus de type Ornstein Uhlenbeck, de drift également inconnu, qui représente le facteur économique influant sur le marché. On utilise l'approche dynamique de Bellman pour résoudre le problème et donner une stratégie de consommation et d'investissement optimale, dans le cas ou les paramètres sont connus. La solution et la stratégie optimale dépendent du coefficient de drift du facteur économique. Pour estimer le drift d'un processus de type Ornstein Uhlenbeck, on observe le processus dans un intervalle $[0, T_0]$ pour $T_0 > 0$ fixé, et on utilise les méthodes séquentielles pour construire l'estimateur par une procédure de troncature. Par ailleurs, on considère le è de consommation et d'investissement optimaux dans l'intervalle fini $[T_0, T]$ sous les paramètres estimés. On montre que la stratégie calculée a travers cette procédure séquentielle est $\delta$-optimale.
07 Décembre 2012 Nicolas Chenavier (LMRS, Université de Rouen) Loi de Benford: une loi de la nature? Un fait curieux observé par Newcomb: il y a une chance sur trois que le premier chiffre d'un nombre, tiré d'une série statistique, soit un 1. Cinquante-sept ans plus tard, alors que la remarque de Newcomb est passée inapercue, Benford observe ce meme phénomène et écrit une loi de probabilité qui porte aujourd'hui son nom. Nous verrons en quoi cette loi a quelque chose de naturelle et quel usage en a été fait. Par ailleurs, nous donnerons des exemples de séries qui vérifient cette loi et, a contrario, d'autres qui ne la vérifient pas.
21 Décembre 2012 Arnaud Rousselle (LMRS, Université de Rouen) Critères de récurrence ou de transience pour des marches aléatoires sur des graphes aléatoires plongés dans $\mathbb{R}^d$ et applications Dans le cadre usuel de la théorie des marches aléatoires, on dispose d'un espace d'états déterministe et d'un noyau de transition fixé régissant les sauts de la marche. Dans des problèmes concrets, il peut arriver que l'on ne sache pas décrire précisément l'espace d'états sur lequel on souhaite marcher mais que l'on dispose tout de meme de quelques informations sur celui-ci. Par exemple, si l'espace d'états est un ensemble de particules microscopiques dans un matériau, des observations macroscopiques peuvent donner de l'information sur la structure microscopique sans la décrire exactement. Il est alors raisonnable de voir cet ensemble comme la réalisation d'un processus ponctuel convenable dans $\mathbb{R}^d$. Le modèle de marches aléatoires présenté dans cet exposé est le suivant : l'espace d'états aléatoire est tiré selon un processus ponctuel (simple et stationnaire) dans $\mathbb{R}^d$, on construit un graphe (géométrique) a partir de celui-ci et on considère la marche simple au plus proche voisin sur ce graphe aléatoire. On établira un critère de récurrence et un critère de transience ($d\geq 3$) pour ces modèles. Des applications seront données quand les graphes sont des triangulations de Delaunay, des graphes de Gabriel ou les squelettes de mosaique de Voronoi engendrés par des processus ponctuels de Poisson.
08 Février 2013 (15h00-16h00) Safia Slimani (Université Badji Mokhar) Etude d'un modèle proie-prédateur de type Holling (II) avec la modification de Leslie-Gower et incorporant un terme refuge Dans ce papier nous présentons une première étude d'un système de deux dimensions en temps continu modélisant une chaine alimentaire de proie-prédateur, ce modèle incorpore une version modifiée de Leslie-Gower et Holling-Type II et un terme refuge. Nous montrons la bornitude des solutions, l'existence d'un ensemble attractant et la stabilité globale du point d'équilibre intérieur en construisant une fonction définie de Lyapunov. Mots clés : Equations différentilles, Leslie-Gower, Holling-Type II, Terme refuge, Bornitude.
08 Mars 2013 Said Naciri (LMRS, Université de Rouen) Stabilité des Systèmes Commutés Durant cet exposé je ferai une courte introduction à la théorie de Lyapunov sur la stabilité des équations différentielles ordinaires aux points d'équilibres. Nous verrons ensuite comment étendre cette théorie aux systèmes commutés.
15 Mars 2013 Florentina Nicolau (LMI, INSA de Rouen) Systèmes de controle à deux entrées linéarisables dynamiquement via une pré-intégration et leur platitude Nous étudions la platitude de systèmes de controle à deux entrées définis sur un espace d'états de dimension $n$. Nous donnons une caractérisation complète des systèmes linéarisables dynamiquement via une seule pré-intégration d'un controle bien choisi. Ils forment une classe particulière de systèmes plats : ils ont un poids différentiel égal à n+3. Nous présentons une forme normale compatible avec les sorties plates minimales et donnons un système d'EDP à résoudre afin de trouver toutes les sorties plates minimales. Nous illustrons nos résultats via un exemple : le monocycle.
05 Avril 2013 Imen Chourabi (LMRS, Université de Rouen) Introduction à l'homogénéisation La théorie de l'homogénéisation permet de décrire le comportement macroscopique des matériaux composites. Durant l'exposé, on introduit la notion de l'homogénéisation et on étudie l'homogénéisation de l'équation de la chaleur en utilisant la méthode de Tartar.
24 Mai 2013 Imed Mahfoudhi (LMI, INSA de Rouen) Introduction aux problèmes inverses de source dans une équation aux dérivées partielles. L'objectif est d'introduire les principales difficultés des problèmes inverses de source et les différentes techniques d'identifiabilité dans certains cas. Ensuite, nous pourrons étudier l'identification d'une source ponctuelle dans une équation d'évolution bidimensionnelle de type advection-diffusion-réaction, à partir des mesures frontières, nous établissons une méthode d'identification basée sur les résultats de controlabilité frontière exacte.
31 Mai 2013 Imen Laribi (LMRS, Université de Rouen) Estimation d'erreur et adaptation de maillage pour un modèle de Naghdi Toute approximation en éléments finis d'un problème d'équations aux dérivées partielles contient inévitablement des erreurs de discrétisation. Il est donc souhaitable d'avoir à disposition des outils qui permettent de les estimer et éventuellement de les controler par adaptation de maillage. Dans cette exposé, je présente une analyse a posteriori pour un modèle de coque anisotrope du problème de Naghdi autorisant des discontinuités de courbure. Je montre que l'analyse a posteriori conduit à la construction des indicateurs d'erreurs qui sont utilisés dans la suite comme critère d'adaptation de maillage.
Juin 2013 Thai NGuyen (LMRS, Université de Rouen)
