Pierre PICCO (CNRS, CPT Luminy)

Modèle de Kac en champs magnétiques aléatoires.

Le modèle de Kac unidimensionel en champs aléatoires sera étudié en détails. On construira les états typiques. Les fluctuations par rapport aux configurations typiques seront aussi décrites.

CONFÉRENCES

Christophe BAHADORAN (Université Blaise Pascal, Clermont Ferrand)

Convergence à l'équilibre pour l'exclusion simple asymétrique en dimension 1.

Il s'agit d'un travail en collaboration avec T. Mountford.
Nous considérons le processus d'exclusion asymétrique de moyenne non nulle en dimension 1, avec des sauts bornés, mais non nécessairement à plus proche voisin. Nous établissons la convergence vers la mesure invariante de densité r lorsque l'on part d'une loi initiale de densité p.s. r à droite et à gauche. Nous améliorons ainsi les résultats précédents qui supposaient une loi initiale invariante par translation. Comme corollaire, nous généralisons le résultat d'équilibre local fort de Landim (1993) à des lois initiales non nécessairement produit.

Pierre COLLET (CNRS, Ecole Polytechnique)

Asymptotique du nombre de graphes avec une densité de triangles.

Several explicit examples of large graphs have been recently analyzed (www, protein interaction networks, neuron networks). They showed a number of triangles anomalously large with respect to a random graph hypothesis. We have analyzed this situation from the point of view of Statistical Mechanics, assuming a non zero average number of triangles per site. The information per triangle due to this constraint turns out to be irrelevant for unoriented graphs but crucial for oriented graphs. The proof is based on the construction of a stochastic process exploring all these special graphs.

Francis COMETS (Université Paris 7)

A law of large numbers for random walks in random mixing environments.

joint work with Ofer Zeitouni.
We prove a law of large numbers for a class of multidimensional random walks in random environments where the environment satisfies appropriate mixing conditions, which hold when the environment is a weak mixing field in the sense of Dobrushin and Shlosman. Our result holds if the mixing rate balances moments of some random times depending on the path. It applies in the non-nestling case, but we also provide examples of nestling walks that satisfy our assumptions. The derivation is based on an adaptation, using coupling, of the regeneration argument of Sznitman-Zerner.

Alessandra FAGGIONATO (Technische Universitaet Berlin)

Hydrodynamic limit of a disordered lattice gas.

This is a joint work with F. Martinelli.
We study the motion of free electrons in a doped crystal by means of a lattice gas whose particles interact only by mutual exclusion and perform random walks on Z^d with jump rates depending locally on a disorder field given by i.i.d. bounded variables. We prove the almost sure existence of the hydrodynamic limit in dimensions d > 2. The limit equation is a non linear diffusion equation whose diffusion matrix does not depend on the realization of the disorder field and admits a variational characterization.

Hervé GUIOL (EPFL, Lausanne)

Générateur et mesures d'équilibres pour le processus d'exclusion à longue portée.

Il s'agit d'un travail commun avec E. Andjel.
Etudié dans Liggett (1980), le processus d'exclusion à longue portée est un sytème de particules en interaction dans lequel chaque particule qui saute, poursuit instantanément sa dynamique jusqu'à trouver un site non occupé. Pour ce processus qui n'est pas de Feller nous montrons un résultat général reliant ses mesures d'équilibres à son générateur formel. Nous appliquons ce résultat pour caractériser les mesures invariantes du processus pour une grande classe de marches aléatoires dans Z.
Référence : Liggett, T.M. (1980) Long range exclusion processes. Ann. Probab. 8, no. 5, 861--889.

Nicolas LANCHIER (Université de Rouen)

Mesures stationnaires pour un modèle de succession écologique.

Nous introduirons, lors de cet exposé, un nouveau système de particules destiné à modéliser un exemple de succession écologique impliquant deux espèces : Fagus sylvatica L. ou hêtre européen et Pteridium aquilinum L. communément appelée fougère aigle. Les deux espèces se disputent les sites vacants, assimilables à des clairières, selon des stratégies évolutives fondamentalement différentes. En particulier, le passage direct de la fougère à la clairière est interdit, la transition de la fougère au hêtre étant, quant à elle, autorisée. Notre principal objectif sera d'exhiber les transitions de phases de ce processus en prouvant qu'il existe trois évolutions possibles du système vers des équilibres écologiques distincts. Plus précisément, la population peut disparaitre, le hêtre peut vaincre la fougère, et les deux espèces peuvent coexister.

Arnaud LE NY (Eurandom, Eindhoven, Pays-Bas)

Mesures de Gibbs généralisées.

Les mesures de Gibbs généralisées ont été introduites pour interpréter les mesures renormalisées, obtenues par changements d'échelles de mesures de Gibbs, comme des états d'équilibre de systèmes de particules en interaction. Ce cadre permet en particulier de rétablir les propriétés thermodynamiques du système original, telles que l'existence de fonctions thermodynamiques ou la validité des principes variationnels et de grandes déviations.
Nous décrirons les propriétés principales de ces nouvelles familles de champs aléatoires à travers des exemples de mesures renormalisées mais aussi d'exemples issus des systèmes désordonnés (approche de Morita pour le modèle d'Ising à couplages aléatoires), de dynamiques de systèmes de particules (dynamique de Glauber) ou de la théorie ergodique.

Étienne MAHÉ (Université de Rouen)

Les mesures de Gibbs sans les interactions.

L'étude classique des mesures des Gibbs utilise les interactions. L'application interaction-mesures de Gibbs compatibles n'étant pas injective, il doit exister une alternative. Notre but est de retrouver des résultats comme l'existence de l'entropie relative, de la pression, le principe variationnel en travaillant directement avec les spécifications plutôt qu'en imposant des conditions aux probabilités ou aux interactions. On sort du cadre des interactions invariantes par translation en imposant d'autres hypothèses aux spécifications. On s'intéressera ensuite à l'importance des propriétés topologiques et probabilistes des spécifications.

Grégory MAILLARD (Université de Rouen)

Chaînes à liaisons complètes et mesures de Gibbs unidimensionnelles.

On discute de la relation entre les processsus à temps discrets (chaînes) et les mesures de Gibbs unidimensionnelles. On considère des systèmes à alphabet fini pouvant comporter une grammaire. On établit des conditions pour qu'un processus stochastique définisse une mesure de Gibbs et inversement pour qu'une mesure de Gibbs définisse un processus. Nos conditions généralisent les résultats d'équivalence bien connus entre chaînes et champs de Markov ergodiques, ainsi que le caractère gibbsien des processus ayant un taux de continuité exponentiel.

Thomas MOUNTFORD (EPFL, Lausanne)

The motion of a second class TASEP particle.

(joint work with Herve Guiol).
We consider the motion of a second class particle initially at the origin in a configuration where the particles to the left are Bernoulli (\rho) and the particles to the right are distributed as Bernoulli (\lambda) with \lambda < \rho. We show that the position at time t divided by t converges to a random variable necessarily uniformly distributed on [1-2\rho, 1- 2 \lambda]. This follows work by Ferrari and Kipnis.

Yvan VELENIK (CNRS, Université de Provence)

Transition de phase entropique dans un système de bâtonnets.

Un bâtonnet de longueur k sur Z2 est un ensemble de k sites plus-proches-voisins alignés. Nous considérons un gaz de tels bâtonnets de longueur variables (entre 2 et N) avec une interaction de type "coeur dur", i.e. un site de Z2 appartient au plus à un bâtonnet. Nous montrons qu'en choisissant la fugacité de ces bâtonnets de façon appropriée, une transition de phase isotrope/nématique a lieu lorsque N est suffisamment grand: les bâtonnets s'alignent spontanément à grande fugacité, et la symétrie sous rotation est brisée. Ce résultat est à comparer avec le résultat classique d'Heilmann et Lieb qui ont établi, en 1972, l'absence de transition de phase pour le cas N=2. C'est le premier modèle avec uniquement des interactions de coeur-dur pour lequel il est possible de démontrer l'existence d'une phase possédant un ordre orientationnel à longue distance, mais pas d'ordre translationnel. C'est une caractéristique fondamentale des cristaux liquides.
[Collaboration avec D. Ioffe et M. Zahradnik]