Le but de ces rencontres est de présenter des résultats récents et de discuter des questions nouvelles et ouvertes sur les systèmes de particules et la mécanique statistique.
Mardi 26 mai
10h45 - 11h30 : Hervé GUIOL - About a stochastic model for species survival.
11h30 - 12h15 : Marie THERET - Grandes déviations pour le flux maximal en percolation de premier passage.
12h15 - 14h00 : Déjeuner
14h00 - 16h00 : Yves DERRIENNIC - Mini-cours 1
16h00 - 16h15 : Pause
16h15 - 17h00 : Gregorio Rolando MORENO FLORES - The environment seen by the particle for directed polymers in a random environment.
17h00 - 17h45 : Karl PETERSEN - Combinatorics and dynamical systems generated by some reinforced random walks.
Mercredi 27 mai
09h30 - 11h30 : Yves DERRIENNIC - Mini-cours 2
11h30 - 11h45 : Pause
11h45 - 12h30 : Mauro MARIANI - A Variational Approach to 2D Navier-Stokes Equation, via Large Deviations of the Vortexes Model.
12h30 - 14h00 : Déjeuner
14h00 - 14h45 : Krishnamurthi RAVISHANKAR - Macroscopic Stability for non-finite range kernels.
14h45 - 15h30 : Marc WOUTS - Slow Glauber dynamics in the dilute Ising model.
15h30 - 15h45 : Pause
15h45 - 16h30 : Christophe BAHADORAN - Quasi-potentiel pour les systèmes de particules asymétriques couplés à des réservoirs.
Mini-cours
Yves DERRIENNIC (Université de Bretagne Occidentale) Central limit theorem in reversible medium and the ergodic theorem for cocycles. In many diffusion models where reversibility is present the central limit theorem follows from a two stage reasoning : first reduction to a CLT for martingales, second use of some version of the ergodic theorem. In these lectures this method , which began about 30 years ago, will be recalled. Some new aspects will be presented, concerning in particular the random walk in reversible random environment (the subject of many recent publications); the rôle of the ergodic theorem for multidimensional cocycles will be emphasized.
Conférences
Christophe BAHADORAN (Clermont Ferrand) Quasi-potentiel pour les systèmes de particules asymétriques couplés à des réservoirs. La motivation de ce travail est le calcul de la fonctionnelle de grandes déviations à l'état stationnaire pour des systèmes du type de l'exclusion simple asymétrique couplés à des réservoirs. Ce problème entre dans le cadre des états stationnaires hors équilibre, qui présentent des corrélations à longue portée. Cette fonctionnelle a été calculée de manière analytique dans les cas symétrique (2002) et asymétrique (2003) par Derrida, Lebowitz et Speer. Dans le premier cas, Bertini et al. (2002) ont proposé une approche dynamique plus générale fondée sur le quasi-potentiel. Dans le cadre asymétrique, cette approche donne un problème variationnel très différent, car la fonctionnelle de grandes déviations dynamique n'a pas une structure diffusive. C'est ce problème variationnel qui sera présenté ici.
Hervé GUIOL (IMAG, Grenoble) About a stochastic model for species survival. We consider a simple stochastic model to study the fitness distribution of existing species. In our model species are born and die at constant rates. At each birth we associate with the new species a random number. This random number is sampled from a fixed distribution (usually the uniform on [0,1]). We think of the random number associated with a given species as being the fitness of the species. These random numbers are independent of each other and of everything else. This is a joint work with F. Machado and R. Schinazi.
Mauro MARIANI (Paris 9) A Variational Approach to 2D Navier-Stokes Equation, via Large Deviations of the Vortexes Model. A cost functional for the Navier-Stokes equation is introduced as rate functional of the classical stochastic vortexes model. Some features of the long time behavior of the Navier-Stokes equation are then investigated in this variational framework.
Gregorio Rolando MORENO FLORES (PUC, Chili) The environment seen by the particle for directed polymers in a random environment. We consider the model of Directed Polymers in an i.i.d. Gaussian or bounded environment in the L2 region. We prove that the density of the law of the environment seen by the particle converges in L1 to an explicit limit.
Karl PETERSEN (University of North Carolina, USA) Combinatorics and dynamical systems generated by some reinforced random walks. In continuing work with Sarah Bailey Frick and Alexander Varchenko, we study invariant measures and first dynamical properties of adic (Bratteli-Vershik) systems arising from a walk on a finite directed graph with some general reinforcement scheme. The simplest cases of two loops at a vertex with no reinforcement, simple opposite reinforcement, or constant reinforcement of the same edge lead respectively to the Pascal, Euler, and Stirling systems. To study the Euler system, we derive a formula for generalized Eulerian numbers, which give the path counts between arbitrary pairs of vertices in the Euler graph (or Eulerian triangle). We give a new proof of the uniqueness of the fully supported ergodic measure, replacing an earlier method of coding paths by linear orders on the natural numbers with another labeling of paths leaving vertices at the same level and then showing, by a curious two-dimensional induction argument that establishes monotonicity of certain ratios of generalized Eulerian numbers, that most such pairs of paths are in one-to-one correspondence.
Krishnamurthi RAVISHANKAR (SUNY - New Paltz, USA) Macroscopic Stability for non-finite range kernels. (with T.S. Mountford and E. Saada) We extend the strong macroscopic stability introduced in Bramson and Mountford (2002) for one-dimensional asymmetric exclusion processes with finite range to a large class of one-dimensional conservative attractive models (including misanthrope process) for which we relax the requirement of finite range kernels. A key motivation is extension of constructive hydrodynamics results of Bahadoran et al. to nonfinite range kernels.
Marie THERET (ENS) Grandes déviations pour le flux maximal en percolation de premier passage. Nous considérons le modèle standard de percolation de premier passage dans le graphe Zd, i.e. nous associons à chaque arête e du graphe une variable aléatoire t(e) à valeurs dans R+, de telle sorte que la famille de variables obtenue soit i.i.d. Nous interprétons t(e) comme étant la capacité de l'arête e, c'est-à-dire la quantité maximale d'eau qui peut traverser e par seconde. On en déduit naturellement la définition du flux maximal entre le sommet et la base d'un cylindre inclus dans Rd, ou plus généralement le flux maximal à travers un domaine de Rd entre des sources et des puits situés sur son bord. Nous présenterons la loi des grands nombres vérifiée par le flux maximal dans un domaine de Rd assez régulier quand ses dimensions tendent vers l'infini de façon isotrope. Cette loi des grands nombres est obtenue grâce aux connaissances que nous avons du comportement du flux maximal entre le sommet et la base d'un cylindre. Nous montrerons également que les déviations supérieures sont d'ordre volumique, alors que les déviations inférieures sont d'ordre surfacique.
Marc WOUTS (Univ. Paris 13) Slow Glauber dynamics in the dilute Ising model. Random media is famous for altering numerous properties of physical systems. In this talk we will focus on the influence of dilution on the Glauber dynamics for the Ising model. We will first recall the results of Martinelli and coauthors in the domain of the Griffiths phase. Then we will present new results on both the averaged autocorrelation in infinite volume and on the spectral gap in finite boxes.