Le but de ces rencontres est de présenter des résultats
récents et de discuter des questions nouvelles et ouvertes
sur les systèmes de particules et la mécanique statistique.
Elles se composent d'un mini-cours et de conférences.
Mardi 27 mai
11h15 - 12h00 : Frank REDIG - Sandpile percolation.
12h00 - 12h30 : Alain CAMANES - Controlabilité faible et unicité de mesures invariantes.
12h30 - 14h00 : Déjeuner
14h00 - 16h15 : Timo SEPPALAINEN - Mini-cours 1
16h15 - 16h30 : Pause
16h30 - 17h15 : Grégory MAILLARD - Intermittency on Catalysts.
Mercredi 28 mai
09h30 - 11h45 : Timo SEPPALAINEN - Mini-cours 2
11h45 - 12h00 : Pause
12h00 - 12h30 : Vincent DEVEAUX - Approche géométrique des PCA.
12h30 - 14h00 : Déjeuner
14h00 - 14h45 : Mustapha MOURRAGUI - Comportements hydrostatiques et Grandes déviations autour des limites hydrodynamiques des systèmes de particules avec réservoirs.
14h45 - 15h30 : Johel BELTRAN - Meta-stability for a sequence of Markov processes on finite state spaces.
15h30 - 15h45 : Pause
15h45 - 16h30 : Krishnamurthi RAVISHANKAR - Almost sure Euler hydrodynamics of one-dimensional attractive particle systems.
Mini-cours
Timo SEPPALAINEN (University of Wisconsin-Madison, USA) Current fluctuations for the asymmetric simple exclusion process and other asymmetric interfaces. These lectures cover a recent proof by M. Balazs and T. Seppalainen of the correct order t2/3 of the variance of the net particle current across a characteristic in the stationary asymmetric simple exclusion process (ASEP). This proof proceeds by developing a moment bound of the correct order for a second class particle. The techniques involve coupling several processes and a formula that relates the variance of the current to the expected deviation of the second class particle. The bound on the second class particle extends to all moments strictly less than 3. A key point behind the result is the nonvanishing of the second derivative of the flux. Time permitting, we also discuss another universality class of processes whose flux function is linear: this class contains independent walks and the random average process.
Conférences
Johel BELTRAN (IMPA, Brésil) Meta-stability for a sequence of Markov processes on finite state spaces. In this talk I propose a definition of meta-stability and show sufficient conditions for a sequence of irreducible Markov processes on finite state spaces to be meta-stable. Roughly speaking, we shall say that a sequence of Markov processes displaying a fixed number of wells is meta-stable if (a) it spends a vanishing time outside the wells, and (b) the inter-wells dynamics described by a sequence of jump processes converges to a Markov chain. In the reversible case, our sufficient conditions reduce to estimates on the capacity and on the measure of the meta-stable states. As application, it will be stated a meta-stability behaviour for a class of zero range processes.
Alain CAMANES (Univ. Nantes) Controlabilité faible et unicité de mesures invariantes. Nous commencerons par exposer un modèle de réseau d'atomes reliés à des bains à température constante. Dans la suite de l'exposé, les équations différentielles stochastiques qui régissent l'évolution de ce système nous permettrons d'illustrer notre propos. Nous verrons plus particulièrement comment la disposition des bains de chaleur dans le réseau conditionne l'unicité des mesures d'équilibre. Pour cela, nous étudierons une condition de régularité de l'évolution et montrerons qu'elle se traduit par une condition sur la disposition des bains. Enfin, en utilisant cette condition de régularité, nous relierons un théorème de controlabilité déterministe avec un théorème d'unicité de mesures invariantes. Nous verrons que ce lien permet d'obtenir une méthode systématique pour établir, dans un cadre plus général, soit la controlabilité faible, soit l'unicité de mesures invariantes.
Vincent DEVEAUX (Univ. Rouen) Geometrical approach of probabilistic cellular automata. We are interrested in 1-dimentional PCA with 2 colors and 2 neighbours. We show two decompositions of space-time configurations. This leads to the notion of flow of information. Those flows have a geometrical meaning that induce a uniqueness criterion for the consistent measure.
Grégory MAILLARD (EPFL, Suisse) Intermittency on Catalysts. We study intermittency for the Parabolic Anderson Model when the diffusion is driven by a constant \kappa and the branching is induced by different choices of interacting particle systems. We consider the annealed Lyapunov exponents and we show that they display an interesting dependence on \kappa, with qualitatively different behaviors in different dimensions.
Mustapha MOURRAGUI (Univ. Rouen)
Comportements hydrostatiques et Grandes déviations autour des limites hydrodynamiques des systèmes de particules avec réservoirs.
Nous considérons l'évolution des systèmes de particules dans un domaine ouvert, muni de réservoirs de particules à sa frontière. Les réservoirs, de densité variable, sont modélisés par des processus de naissances et de morts. Dans un premier temps, nous prouvons que lorsque la densité des réservoirs est fixée, le champ de densité empirique des particules converge vers une équation parabolique du second ordre avec conditions de Dirichlet. Ensuite, nous étudions les grandes déviations autour des limites hydrodynamique.
Les deux travaux concernés sont respectivement réalisés en collaboration avec L. Bertini et C. Landim, et J.S. Safran et C. Landim.
Krishnamurthi RAVISHANKAR (SUNY - New Paltz, USA)
Almost sure Euler hydrodynamics of one-dimensional attractive particle systems.
We consider attractive irreducible conservative particle systems on Z, with at most K particles per site, for which no explicit invariant measures are required. We suppose that jumps have a finite positive first moment. In earlier work we proved, under finite range hypothesis, that for such systems the hydrodynamic limit under Euler scaling exists, and is given by the entropy solution of a scalar conservation law with Lipschitz-continuous flux. Here, by a refinement of our method, we obtain an almost sure hydrodynamic limit, when starting from: i) any shock profile (Riemann hydrodynamics); ii) any general initial profile, but with finite range assumption.
(Joint work with C. Bahadoran, H. Guiol, and E. Saada)
Frank REDIG (Leiden, Hollande)
Sandpile percolation.
We introduce the sandpile model on the infinite lattice starting from a Poisson distribution of heights. We prove that there is a phase transition between a stabilizable and non-stabilizable phase and discuss the relation between the critical density and the self-organized critical state of the sandpile model. Next we introduce the cluster of toppled sites in the stabilizable phase and show exponential decay of the size for small densities.
Joint work with A. Fey and R. Meester.