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SHEPI
Janvier 2014
jeudi 23 janvier
11h00 à 12h30 : Jean-Baptiste Gouéré (Université d'Orléans)
La forme des grandes boules en percolation hypercritique.
Considérons le sous-graphe aléatoire de ${\mathbb Z}^2$ obtenu en éliminant
indépendamment chaque arête avec probabilité $1-p$. Considérons, dans ce
sous-graphe, les boules de grands rayons. À un changement d'échelle
près, elles ressemblent à un sous-ensemble du plan appelé en percolation
de premier passage la forme asymptotique. Nous montrons que, lorsque le
paramètre $p$ converge vers 1, au voisinage des axes, la forme
asymptotique est délimitée par des arcs de paraboles. La preuve repose
sur un lien entre ce modèle et le TASEP à temps discret sur $\mathbb Z$. C'est un
travail en collaboration avec A.-L. Basdevant, N. Enriquez et L. Gerin.
14h00 à 17h00 : Vlada Limic (Université Paris Sud)
Exchangeable coalescents at small times on fine scales.
Exchangeable coalescent processes generalize the Kingman coalescent, where
simultaneous and multiple collisions can occur. They appear as (asymptotic)
genealogies in models of populations, where the resampling/offspring
mechanisms do not have bounded variance. Exchangeable coalescents are
usually called Lambda (or Xi) coalescents.
A few years ago Berestycki, Berestycki and Limic derived the first order
asymptotic for the number of blocks at small times in any Lambda-coalescent
that comes down from infinity. Coming down from infinity means that the
standard version starts at time 0 from an infinite configuration, but at
any positive time t the number of blocks N_t is a finite random variable.
The above mentioned result exhibits a function v such that N_t is
asymptotic to v(t) as t goes to 0.
In a joint recent work with Anna Talarczyk, we study the second-order
asymptotic for the number of blocks. Under conditions on the driving
measure Lambda near 0, we obtain convergence in Skorokhod J_1 topology for
the appropriately rescaled process (N_t/v_t - 1, t>=0).
The purpose of this lecture is to explain in detail the derivations
(relying on a novel martingale approach) of the above two asymptotic
results. No prior knowledge of exchangeable coalescents will be assumed. In
addition I will give my take on the important open questions that presently
stand out in this subject.
Mars 2014
jeudi 13 mars
11h00 à 12h30 : Martin Evans (University of Edinburgh)
Explosive Condensation in one-dimensional particle systems.
We study a system of interacting particles, hopping between sites of a
one-dimensional lattice with a rate which increases with the number of
particles at interacting sites. We show that the stationary state is a
product measure and that with suitably increasing hop rates
condensation occurs.
Condensation is the phenomenon whereby on a system of size $L$
containing $M = \rho L$ particles a finite fraction of the particles
are typically found at a single site in the limit of large $L$.
This condensate moves rapidly through the system, in contrast to
previously studied condensation. We show that, the relaxation
time to the stationary state decreases as an inverse power of $ln L$
so that condensation is instantaneous for $L >> 1$. This provides a
first example of instantaneous gelation in a spatially extended system.
14h00 à 17h00 : Lorenzo Zambotti (LPMA, Université Pierre et Marie Curie)
La renormalisation des EDPS d'après Martin Hairer.
Je vais présenter les idées principales de la théorie récente de
M. Hairer sur les Structures de Régularité et leurs applications aux EDP
stochastiques nécessitant une procédure de renormalisation (exemples
célèbres : KPZ et \Phi^4_3 en théorie des champs).
Juin 2014
Le Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem organise chaque année
depuis 1997 les "Rencontres Mathématiques de Rouen". Elles se centrent
chaque année sur une ou plusieurs des thématiques de travail des
membres du LMRS. Les thèmes 2014 etaient "Systèmes de particules et mécanique statistique - Modèles spatiaux aléatoires"
Par consequent, exceptionnellement pour 2014,
les "Rencontres de Probabilités" (les 8,9 septembre) n'etaient pas
consacrées aux systèmes de particules et à la mécanique statistique.
Elles avaient pour thème "Aspects du calcul stochastique".