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Février 2012
Jeudi 10 (salle 05) 11h-12h30 : Ben Graham Influence and the random cluster model. The random-cluster model is a variant of bond percolation inspired by the Ising and Potts ferromagnetic models. I will discuss influence and sharp thresholds theorems for product and monotonic measures. Vincent Beffara and Hugo Duminil-Copin recently used an influence result to show that "The self-dual point of the two- dimensional random-cluster model is critical for q>=1". You will hear more about this after lunch. 14h : Vincent Beffara The critical point of the 2D random-cluster model. I will present recent results, joint with Hugo Duminil-Copin, about the critical behavior of the FK random-cluster model. The main result is the fact that, on the planar square lattice Z^2, p_c is equal to its conjectured self-dual value p_sd=\sqrt{q}/(1+\sqrt{q}). If time allows, I will present two mostly independent proofs, one for q>4 (for which the phase transition is expected to be first-order) using Smirnov's parafermionic observable - which I will introduce in detail if needed - and one for all q>1 which is closer in spirit to Kesten's proof that p_c=1/2 for bond percolation on Z^2, using Russo- Seymour-Welsh theory and sharp-threshold results.
Mars 2012
jeudi 15 (salle 201, IHP)
11h-12h30 : Antal Jarai (Bath university)
The burning bijection in
Abelian sandpiles
We give an introduction to Abelian sandpiles and review various
versions of the burning bijection first introduced by Majumdar and Dhar.
We apply the bijection to study sandpiles on general infinite graphs
satisfying a very natural condition on the Uniform Spanning Forest
carried by the graph. (The talk will touch on joint works with several
people: S. Athreya, R. Lyons, F. Redig, E. Saada, N. Werning.)
14h-17h : Hugo Duminil (Université de Genève)
La percolation de type bootstrap
La percolation de type bootstrap fut introduite par Chalupa, Leath et
Reich en 1979 afin de modéliser les phénomènes de meta-stabilité, de
formation de fissure, ou d'évolution d'une maladie. Le modèle est un
automate cellulaire: chaque site d'un réseau est infecté au temps 0
indépendament, avec probabilité p>0. Au temps t+1, un site est infecté
s'il est infecté au temps t ou si la moitié de ses voisins sont
infectés au temps t. Le but principal de cet exposé est de décrire les
développements récents concernant le comportement (lorsque p tend
vers 0) du temps T auquel l'origine devient infectée. L'exposé sera
organisé comme suit:
1) Définition du modèle et discussion des applications a diverses
modèles de physique statistique
2) Etude du modèle en dimension 2. En particulier, nous montrerons que
p log T converge en probabilité vers pi^2/18 (résultat de Aizenman
et Lebowitz, 1988 pour l'existence de bornes inférieures et
supérieures uniformes, et de Holroyd pour la convergence)
3) Etude du modèle en dimension d (nous discuterons les travaux de
Cerf et de ses coauteurs pour la détermination de l'ordre de grandeur
de T, et de Morris, Bollobas, Balogh et moi-même pour le comportement
asymptotique précis).
4) Dans une dernière partie, nous discuterons les différentes
extensions (en particulier l'universalité) et les questions ouvertes
dans le domaine.
Avril 2012
Jeudi 12 avril (salle 201, IHP)
11h-12h30 : F. Bonetto
Non equilibrium steady state for a simple model of electric current.
14h-17h : T. Lelièvre
Méthodes d'entropie pour l'étude des
processus métastables en dynamique moléculaire.
Nous présenterons une approche pour comprendre et quantifier la
métastabilité des processus stochastiques, en utilisant les inégalités
de Sobolev logarithmiques. Cette approche est utile:
- du point de vue de la modélisation, pour proposer et évaluer la
qualité de dynamiques effectives sur les degrés de libertés importants
du système [1],
- numériquement, pour étudier l'efficacité de certaines méthodes
d'échantillonnage utilisée en dynamique moléculaire (méthodes de
biaisage adaptatif) [2],
- théoriquement, pour avoir des estimées des constantes intervenant
dans ces inégalités [3].
Références:
[1] F. Legoll et T. Lelièvre, Effective dynamics using conditional
expectations, Nonlinearity, 23, 2131-2163, (2010).
[2] T. Lelièvre, M. Rousset et G. Stoltz, Long-time convergence of an
Adaptive Biasing Force method, Nonlinearity, 21, 1155-1181 (2008).
[3] T. Lelièvre, A general two-scale criteria for logarithmic Sobolev
inequalities, Journal of Functional Analysis, 256(7), 2211-2221 (2009).
Mai 2012
24 et 25 mai (Rouen) Rencontres de probabilités 2012 Page web
Juin 2012
Jeudi 21 juin (salle 201, IHP) 11h-12h30 : Vincent Vargas Chaos multiplicatif Gaussien et relation KPZ. La théorie du Chaos multiplicatif gaussien fut introduite en 1985 par Kahane dans le contexte de la turbulence 3d. Cette théorie permet de définir des mesures limite lognormales dont les corrélations sont logarithmiques. En particulier, on verra que cette théorie permet de donner un sens à la gravité quantique de Liouville en dimension 2 ainsi que Duplantier et Sheffield l'ont remarqué dans un travail récent. Je présenterai les versions probabilistes existantes de la relation KPZ (Knizhnik-Polyakov-Zamolodchikov) associée à la gravité de Liouville. Je donnerai également une preuve rigoureuse et simple de la version Hausdorff de cette relation (obtenue en collaboration avec Barral, Jin et Rhodes). 14h-17h : François Huveneers Thermal transport in disordered chains. I will talk about energy transport in disordered oscillators chains. These chains model impure solids, where the characteristics of each atom are different. In one of the most popular models, their masses are taken to be independent and identically distributed. It is known since Anderson that disorder may induce localisation. Harmonic chains turn out to be mathematically equivalent to an Anderson model with only one electron. In fact energy localisation starts being rather well understood in this case. However, as soon as a slightly more general interaction is considered, one is confronted with a true multi-body system; transport properties become much harder to analyse mathematically. Roughly speaking, the talk will be divided in two parts. I first will present some phenomenology of disordered chains, and give some mathematical results on harmonic chains. I next will speak about some recent results on the conductivity of disordered anharmonic or stochastically perturbed chains. The talk will be based on works with Oskari Ajanki and Cédric Bernardin ; no mathematical knowledge of localisation is assumed. Titre et résumé en français Transport thermique dans les chaînes désordonnées. L'exposé traitera du transport d'énergie dans des chaînes d'atomes désordonnées. Ces chaînes modélisent des solides impurs, où les caractéristiques de chaque atome sont différentes. Dans un des modèles les plus populaires, leurs masses sont considérées comme des variables aléatoires indépendantes. Il est connu depuis Anderson que le désordre induit des propriétés de localisation. Les chaînes dans lesquelles l'interaction est harmonique sont mathématiquement équivalentes au modèle d'Anderson d'un seul électron ; la localisation de l'énergie commence à être assez bien comprise dans ce cas. Mais, dès que l'on considère une interaction un peu plus générale, on a affaire à un vrai système multi-corps, encore assez peu étudié du point de vue mathématique. L'exposé comportera en gros deux parties. On présentera d'abord un peu de phénoménologie des chaînes désordonnées, et on indiquera quelques résultats mathématiques sur les chaînes harmoniques. Ensuite, on donnera quelques résultats récents sur la conductivité de chaînes désordonnées anharmoniques ou perturbées par un bruit stochastique. L'exposé se basera sur des travaux communs avec Oskari Ajanki et Cédric Bernardin ; aucune connaissance mathématique de la localisation n'est supposée.